Вальяжно — это значит неторопливо и с достоинством, с ленцой.

Вальяжный — это исполненный достоинства (о человеке) или непринужденный, раскрепощенный (о походке, позе и так далее).
Например, вальяжная походка — это походка расслабленная, неторопливая, даже ленивая.
Вальяжность — это неторопливость, солидность, непринужденность.
Ударение ставится на второй слог: валья́жно, валья́жный, валья́жность.
Нередко слово «вальяжный» употребляют с некоторым осуждением: так говорят о человеке, который слишком важничает или ведет себя чересчур развязно.
Синонимы и антонимы к слову вальяжный
Синонимы к слову вальяжный — чинный, видный, преисполненный достоинства, величавый, солидный, представительный, непринужденный, раскрепощенный, развязный, спокойный, расслабленный, ленивый.
Антонимы к слову вальяжный — суетливый, напряженный, зажатый, беспокойный.
Откуда взялось слово вальяжно и что оно значило изначально?
В устаревшем значении вальяжный — это массивный, увесистый, прочный.
Возможно, слово происходит от неустановленной формы, связанной со старорусским глаголом, означавшим «лить»: вольячный — литой.
Вот что написано о слове «вальяжный» в словаре В.И. Даля:
Вальяжный или вальящатый (во-льячный, от льяк, форма: литой), массивный, прочный, крепкий, плотный, толстый, полновесный; более о вещах металлических.
Табакерка вальяжной работы.Резной, точеный, красиво и прочно отделанный.
Окна косящатые, вереи точеные, вальящатые.Иногда вальяжный употребляют в знач. чванный, от глагола вальяжиться новг. чваниться, важничать, величаться.
Примеры употребления в старом значении:
К широкой портупее из буйволовой кожи… привешена была шпага с вальяжным эфесом, на котором изображены были пушка дулом вверх и гранаты…
И.И. Лажечников, «Последний Новик» (1833)
У стены, против входа, стоял вальяжный красного дерева диван, обитый синим штофом…
М.Е. Салтыков-Щедрин. «В среде умеренности и аккуратности» (1874-1877)
Вальяжный — примеры употребления
А на террасе уже стоит вальяжный, улыбающийся хозяин и радостно приветствует меня.
А.Т. Аверченко. «Дюжина ножей в спину революции» (1921)
Она выработала певучую речь, размашистые, но мягкие и уверенные жесты, — ту свободу движений, которая в купеческом круге именуется вальяжностью.
Максим Горький. «Жизнь Клима Самгина» (1925)
И манеры у них такие вальяжные и деликатные, будто они и сами графы, такого тонкого воспитания, старинного.
И.С. Шмелев. «Лето Господне» (1927-1944)
Мясник вальяжно оправил бороду, расчесанную на две стороны:
— А вам какая говядина, барыня? Суповая али для чего другого?
Евгений Евтушенко. «Ягодные места» (1982)
Гнетущее впечатление произвел на маму родной сын. Своей вальяжностью, беспрекословностью в суждениях, умением вести светскую беседу на достойном идеологическом уровне, даже походкой, как бы все перед собой стаптывающей, непреклонной, он подавлял, морально властвовал над всеми.
Виктор Астафьев. «Пролетный гусь» (2000)